Csaba Onczay jest jednym z czołowych wiolonczelistów swojego pokolenia. Otrzymał Nagrodę Kossutha (1993), najwyższe wyróżnienie przyznawane artystom na Węgrzech. Za znakomitą interpretację Sonaty na wiolonczelę solo op. 8 Zoltána Kodálya otrzymał Nagrodę im. F. Liszta w Budapeszcie (1976) oraz tytuł Zasłużonego Artysty (1986). Zdobył również prestiżową nagrodę Bartók-Pásztory w 2004 roku. W 2019 roku został uhonorowany przez japoński rząd „Orderem Wschodzącego Słońca, Złote Promienie ze Wstęgą”. Jest członkiem Węgierskiej Akademii Sztuki.
Csaba Onczay jest laureatem wielu międzynarodowych nagród, m.in. I nagrody na Międzynarodowym Konkursie im. Pablo Casalsa w Budapeszcie, (1973) oraz I nagrody na Międzynarodowym Konkursie im. Villa-Lobosa w Rio de Janeiro (1976).
Posiada tytuł profesora emeritusa Uniwersytetu Muzycznego im. F. Liszta w Budapeszcie. Był profesorem wizytującym na Uniwersytecie Muzycznym we Fryburgu oraz Oberlin Conservatory w Ohio, w latach 2006–2009 pełnił tę funkcję w Jacobs School of Music na Uniwersytecie Indiana w Bloomington, a obecnie jest tam stałym wykładowcą w ramach Summer String Academy. Obok działalności wykonawczej, którą zajmuje się od 1978 roku, regularnie prowadzi kursy mistrzowskie na Węgrzech, w innych krajach Europy, w także w USA, Japonii i Azji.
Oprócz licznych nagrań koncertowych dla radia i telewizji, ma w swoim dorobku fonograficznym koncerty C.P.E. Bacha, Schumanna, Lalo, Villi-Lobosa, Dohnányiego, a także wszystkie sonaty Beethovena i wszystkie suity solowe Bacha. Prezentował wiele utworów muzyki współczesnej, m.in. Akutagawy, Gubaiduliny, Dutilleux, Landowskiego, Lutosławskiego i Pendereckiego, a wielu węgierskich kompozytorów, w tym Levente Gyöngyösi, Miklós Kocsár, Kamillió Lendvay oraz Sándor Szokolay napisało i zadedykowało mu swoje utwory.
„Le Monde” pisał o nim w sierpniu 1990 roku:
„Bardziej znacząca była udana gra węgierskiego wiolonczelisty Csaby Onczay’a, niezwykle skoncentrowana, o aksamitnym dźwięku – bez żadnego efekciarstwa – … żywa, głęboka, pełna pasji, a czasem o «upiornym» charakterze … bliska Casalsowi, by rzec krótko.”